设二次方程

$$

x^2+bx+c=0

$$

的两个根分别为 $x_1,x_2$.则

$$

(x-x_1)(x-x_2)=x^2+bx+c.

$$

因此

$$

\begin{cases}

  x_1+x_2=-b\\

x_1x_2=c\\

\end{cases}

$$

进行离散 Fourier 变换,即

$$

\begin{pmatrix}

  u_1\\

v_1\\

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}

  \omega^{0}&\omega^{1}\\

\omega^{0}&\omega^{2}\\

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}

  x_1\\

x_2\\

\end{pmatrix}.

$$

其中 $\omega$ 是方程 $x^2=1$ 的不等于1的根,即 $\omega=-1$.于是

$$

\begin{cases}

u_1=x_1-x_2\\

v_1=x_1+x_2\\

\end{cases}

$$

也即

$$

\begin{cases}

x_1=\frac{1}{2}(u_1+v_1)\\

x_2=\frac{1}{2}(v_1-u_1)\\

\end{cases}.

$$

于是

$$

\begin{cases}

v_1=-b\\

\frac{1}{4}(v_1^2-u_1^2)=c.

\end{cases}

$$

解得

$$

\begin{cases}

  v_1=-b\\

u_1=\pm\sqrt{b^2-4c}

\end{cases}

$$

然后容易得出 $x_1,x_2$ 的值.